Статья о Феликсе Клейне, акцентирующая внимание на его научных интересах и достижениях
Феликс Христиан Клейн родился 25 апреля 1849 в Дюссельдорфе, в семье чиновника. Клейн окончил гимназию в Дюссельдорфе, после которой учился в Боннском университете, планируя стать физиком. Во время его учебы отделением математики и экспериментальной физики в Бонне заведовал Юлиус Плюккер, и Клейн стал его ассистентом. Под его руководством Клейн стал доктором в 1868г.
В 1872 году Клейн становится профессором Эрлангенского университета.
В 1875 году он стал профессором в Высшей технической школе в Мюнхене, работал в Лейпцигском университете.
А в 1882 году после серьезной болезни, начал заниматься педагогической и общественной работой. С 1888 года работал в Гёттингенском университете. Умер Клейн на 76 году жизни.
Клейну принадлежит идея алгебраической классификации различных отраслей геометрии в соответствии с теми классами преобразований, которые для этой геометрии несущественны. Более точно выражаясь, один раздел геометрии отличается от другого тем, что им соответствуют разные группы преобразований пространства, а объектами изучения выступают инварианты таких преобразований. Например, классическая евклидова геометрия изучает свойства фигур и тел, сохраняющиеся при движениях без деформации; ей соответствует группа, содержащая вращения, переносы и их сочетания. Проективная геометрия может изучать конические сечения, но не имеет дела с кругами или углами, потому что круги и углы не сохраняются при проективных преобразованиях.
Топология исследует инварианты произвольных непрерывных преобразований (известно, что Клейн отметил это ещё до того, как возникла топология). Клейн высказал все эти идеи в выступлении 1872 года «Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen» («Сравнительное рассмотрение новых геометрических исследований»), получившем название «Эрлангенской программы». Оно привлекло внимание математиков всей Европы тем, что не только давало новое представление о предмете геометрии, но и намечало ясную перспективу дальнейших исследований.
В последующие 3 года Клейн опубликовал более 20 работ по неевклидовой геометрии, теории групп Ли, теории многогранников и эллиптическим функциям. Одним из важнейших его достижений стало первое доказательство непротиворечивости геометрии Лобачевского; для этого он исследовал её интерпретацию в евклидовом пространстве, построенную до него Бельтрами. Он дал в 1882 году пример односторонней поверхности — «бутылку Клейна».
Клейн напечатал ряд работ о решении уравнений 5-й, 6-й и 7-й степеней, об интегрировании дифференциальных уравнений, об абелевых функциях, о неэвклидовой геометрии. Его труды печатались главным образом в «Mathematische Annalen», редактором которых был он с 1875 года (вместе с Адольфом Майером). Позже он исследовал автоморфные функции, теорию волчка.
Когда он работал в Гёттингенском университете его лекции пользовались большим успехом, слушатели приезжали со всего мира. Многие из его лекций были неоднократно переизданы и переведены на множество языков. Он также опубликовал несколько монографий по анализу, сводящих воедино достигнутые на тот момент результаты.
Ещё при жизни Клейна вышел трёхтомник его Собрания сочинений.
Именем Феликса Клейна названы:
- Математический центр в Германии;
- Кратер на обратной стороне Луны;
- Приз Европейского математического общества и Технологического университета Кайзерслаутерна (присуждается молодым математикам Европы в ходе Европейского математического конгресса (каждые 4 года) за практически полезные работы в области прикладной математики);
- Медаль Международной комиссии по математическому образованию.
Имя Клейна носят следующие математические объекты:
- группа Клейна;
- модель (интерпретация) Клейна;
- бутылка (поверхность) Клейна.